“A Razão Áurea” versus “A Função Exponencial Natural” - PARTE II - Os “divinos” objetos da matemática.

Atenção: A primeira parte desta dissertação se encontra em:

“A Razão Áurea” versus “A Função Exponencial Natural” - PARTE I - Os “divinos” objetos da matemática.

No artigo anterior eu fiz uma introdução sobre a constante e denominada número de Euler, e, na sequência, explanei brevemente sobre uma outra constante, denominada razão áurea, relacionando-a com as formas geométricas do pentágono e do pentagrama, bem como as associações metafísicas alegadas por determinadas sociedades humanas para tais formas geométricas.

Preciso aqui externar que eu deveras lamento, que a excessivamente inconveniente associação desses objetos geométricos com o exoterismo, tendam a ofuscar-lhes a real beleza e a ofende-lhes a natureza científica pura.

Todavia, para a nossa felicidade, o mesmo tipo de desenvolvimento de associação mística, não ocorreu, até o presente momento, com o que vamos tratar agora: o número e (da constante de Euler) e a sua principal conexão, que é com a função exponencial natural.

A principal característica de uma função exponencial qualquer é o aparecimento da variável no expoente. Esse tipo de função expressa situações onde ocorre grandes variações em períodos curtos. As exponenciais, como são conhecidas, possuem diversas aplicações no cotidiano, na Matemática financeira está presente nos cálculos relacionados aos juros compostos, pois ocorre acumulação de capital durante o período da aplicação.

Não obstante o fato de que, matematicamente, a base do expoente pode assumir qualquer valor, existe um tipo de função exponencial que é muito especial, que é a função exponencial natural. As funções exponenciais naturais, são modelos matemáticos envolvendo potências de e (número de Euler) e ocorrem em muitos campos das ciências naturais, mas também encontra interessantes aplicações nas ciências humanas. Tais modelos envolvem, por exemplo, as leis de crescimento e decaimento, e surgem quando a taxa de variação de uma dada quantidade em relação a um intervalo de tempo é proporcional à quantidade previamente existente num dado instante inicial daquele intervalo.

O número de Euler e é um número irracional e positivo e em função da definição desta função exponencial, temos que:

A função exponencial é uma das mais importantes funções da matemática. Descrita como e^x (onde e é a constante matemática neperiana, base do logaritmo neperiano), pode ser definida de duas maneiras equivalentes: a primeira, como uma série infinita (série de Taylor); a segunda, como limite de uma seqüência:

Aqui, o n! corresponde ao fatorial de n e x é qualquer número real ou complexo. O valor de e¹ é, aproximadamente, igual a 2,718281828

Os modelos matemáticos envolvendo potências de base e podem ser observadas na forma:

as quais envolvem crescimento exponencial, ou podem ser observadas na forma:

as quais envolvem decrescimento exponencial (com a e k positivos).

No entanto, como foi proposto desde o início, definições formais, ou mesmo propriedades e significados formais, não são o nosso foco aqui pois, muito mais interessante é que, as funções exponenciais naturais desempenham papéis fundamentais, não apenas na matemática, mas, sobretudo, nas ciências envolvidas com ela, como a física, a química, a engenharia, a astronomia, a economia, biologia, psicologia e outras.

Vamos apresentar alguns exemplos de aplicações deste tipo de função.

Ciências Naturais:

A radioatividade: Em uma amostra de um radionuclídeo que sofre decaimento radioativo para um estado diferente, o número de átomos no estado original segue decaimento exponencial (desde que o número restantes de átomos seja grande). O produto é denominado “decaimento de nuclídeos radiogênicos” e tem aplicação prática, inclusive, na determinação das idades absolutas, de processos e eventos geológicos (idade de minerais, rochas, fósseis, eventos tectônicos), na geocronologia e em traçadores de geoquímica.

O conceito de “Meia-vida”, por exemplo, abreviado t ½, é o período de tempo que leva para que uma dada quantidade de uma substância sofra o decaimento para diminuir para metade. O nome foi originalmente usado para descrever uma característica de átomos instáveis (decaimento radioativo), mas podem ser aplicadas a qualquer quantidade que se segue uma taxa de decaimento conjunto.

O termo original, que data de 1907, foi "período de meia-vida", que mais tarde foi encurtado para "meia-vida" no início dos anos 1950.

Meias-vidas são usados para descrever quantidades submetidos a decaimento exponencial, como por exemplo, decaimentos radioativos, onde a meia-vida é constante ao longo de toda a vida do decaimento, e é uma unidade característica (uma unidade natural de escala) para a equação de decaimento exponencial.

O método do carbono 14: Um dos métodos mais apurados para determinar idades de achados arqueológicos é o método do Carbono 14 (C¹⁴). Descoberto em 1949, este método é, na verdade, bastante simples:

A atmosfera terrestre é continuamente bombardeada por raios cósmicos. Estes raios cósmicos arrastam nêutrons que colidem com átomos de Nitrogênio, existentes em grande concentração, nas camadas mais externas da atmosfera. Estas colisões produzem o C¹⁴. Existe uma pré-suposição fundamental, de que a taxa de bombardeamento da atmosfera terrestre por raios cósmicos tem sido sempre constante, em média.

O C¹⁴ é incorporado por Dióxido de Carbono e encontra-se na atmosfera para ser absorvido pelas plantas. A quantidade de átomos de C¹⁴ presente nos tecidos de animais provém da ingestão de vegetais. Em qualquer tecido vivo, a quantidade de ingestão de C¹⁴ é igual à quantidade de C¹⁴ desintegrado, pois o C¹⁴ é uma molécula instável, que se desintegra espontaneamente numa taxa proporcional ao número de moléculas de C¹⁴ presentes na amostra. Quando um organismo morre, cessa de ingerir C¹⁴ portanto, sua concentração nos tecidos tende apenas a ir diminuindo, devido à desintegração (decaimento β).

Consequentemente, se a taxa de desintegração de C¹⁴ numa amostra de madeira viva, por exemplo, fosse medida há 10.000 anos atrás, o resultado teria que ser igual à taxa de desintegração, numa amostra equivalente, medida hoje. Essa suposição permite-nos determinar a idade de uma amostra de carvão natural.

Seja N ( t ) a quantidade de C¹⁴ presente numa amostra num dado instante t e N₀ a quantidade de C¹⁴ presente no instante t = 0, quando a amostra foi formada, isto é, imediatamente antes da madeira ser queimada. Se k é a constante de desintegração radioativa de C¹⁴ , então, temos que:

A taxa atual R(t) de desintegração de C¹⁴, que é proporcional à quantidade de C¹⁴ presente na amostra, é dada por: R ( t ) = K . N ( t ) = K . N₀ . e ^{- k . t}

e a taxa original é: R(0) = K . N₀ , assim: (R ( t ) / R0) = e ^{- k . t} de modo que:

Através de experimentos, determinou-se que a “meia-vida” do C¹⁴ é de 5730 anos, de modo que a sua constante K equivale então a:

Exemplo de cálculo: Em 1950, nas escavações em Nippon, uma cidade da Babilônia, o carvão de um telhado de madeira produziu uma média de 4,09 desintegrações por minuto, por grama. Madeira viva, numa amostra equivalente, produziu, tipicamente, 6,68 desintegrações por minuto. Supondo que o carvão foi formado durante o reinado de Hammurabi, faça uma estimativa da época em que ele reinou na Babilônia.

1950 – 4055 = 2105 a.C. (de fato, Hammurabi reinou entre 1800 a.C. e 1750 a.C, provavelmente tal amostra seja anterior ao reinado de Hammurabi)

A transferência de calor: Se um objeto a uma dada temperatura é exposta a um meio ambiente com outra temperatura, a diferença de temperatura entre o objeto e o meio segue o decaimento exponencial (no limite de processos lentos; equivalente a uma boa condução de calor dentro do objeto, de modo que a sua temperatura permanece relativamente uniforme através do volume do objeto). Veja também a “lei do resfriamento de Newton”.

Suponhamos que temos um litro de água num recipiente aberto a 80°C (graus Celsius) e estamos num inverno rigoroso onde a temperatura ambiente é de 0°C. Colocamos então a água em contato com o ambiente e um termômetro mergulhado nela e começamos a contar o tempo a partir deste momento. Depois de cinco minutos, podemos notar que a temperatura da água está em 40°C, ou seja, está a meio-caminho entre a temperatura inicial e a temperatura do ambiente, que também é a temperatura final. E assim se sucede que passados mais cinco minutos, ela terá a temperatura entre os quarenta graus e o zero, ou seja, no instante dez minutos contados a partir do momento em que a água foi posta em contato com o ambiente, ela terá como temperatura a metade da metade da diferença entre sua temperatura e a temperatura do meio. E assim progressivamente. Podemos a partir destes dados fazer um gráfico da temperatura em função do tempo, teremos:

A temperatura instantânea do objeto pode também ser calculada pela seguinte equação apoiada na função de decaimento exponencial:

Onde:   T_m →   Temperatura do meio ambiente;

           T₀  →   Temperatura inicial do objeto;

            k   →   Constante que depende do material com que o corpo foi construído.

As reações químicas: As taxas de certos tipos de reações químicas dependem da concentração de um ou outro reagente . Reações cuja taxa depende apenas da concentração de um reagente (conhecido como reações de primeira ordem) consequentemente seguem decaimento exponencial. Por exemplo, muitas reações de catalização de enzimas comportam dessa forma. Sabe-se, também, experimentalmente, que a taxa de decaimento do rádio é proporcional à quantidade de rádio existente num dado momento.

Geofísica e Meteorologia: pressão atmosférica diminui aproximadamente exponencialmente com a o crescimento da altitude acima do nível do mar, a uma taxa de cerca de 12% por 1000m, desde que a temperatura do ar possa ser considerada contante.

Por exemplo, ao nível do mar (altitude relativa zero e pressão padronizada de 1 atm ou 101.3 kPa) a água pura ferve a 100 ºC. No topo do Monte Everest (a 8850m de altitude, com uma pressão de 0.3 atm ou 30 kPa) a água pura ferve a apenas 68 ºC.

Do mesmo modo, a temperatura do ar na atmosfera faz variar os valores de pressão atmosférica. Isso acontece porque o ar frio se encontra mais concentrado e, portanto, pesa mais que o ar quente.

Eletrostática: A carga elétrica (ou, equivalentemente, a diferença de potencial) armazenada em um capacitor (capacitância C) decai exponencialmente, se o capacitor experimenta uma constante carga externa (resistência R). O τ constante de tempo de exponencial para o processo é o produto RxC, e a semi-vida é, por conseguinte, RxCxln2. 

Além disso, um o caso particular de um capacitor em descarga, através de vários resistores em paralelo, consiste num exemplo interessante de processos de decomposição múltiplas, com cada resistor representando um processo separado. Na verdade, a expressão para a resistência equivalente de duas resistências em espelhos paralelos a equação para o semi-vida com dois processos de decomposição.)

O transitório de decrescimento e crescimento de campos eletromagnéticos que ocorrem com o chaveamento de indutores, também respeita a mesma função de decaimento / crescimento exponencial / logarítmico. Mais detalhes sobre processos de carga e de descarga de capacitores e sua constante de tempo, ver artigo específico sobre o assunto, no link:
http://www.ebah.com.br/content/ABAAAAnkcAB/capacitor-transitorio-cc-constante-tempo-funcao-queda-exponencial

Vibrações: vibrações podem decair exponencialmente, esta característica é frequentemente encontrado em oscilações mecânicas amortecidas, e também utilizadas na criação de envelopes ADSR em sintetizadores de som.

ADSR é um acrónimo do termo em inglês “Attack, Decay, Sustain, Release”, que podemos verter para o português “Ataque, Decaimento, Sustentação e Repouso” (alguns textos chamam o tempo R de Relax ou Relaxamento). ADSR é uma das formas mais comumente utilizadas para aplicar um envelope de amplitude a um som para produzir um timbre característico de um instrumento musical. Também podemos usar o ADSR para analisar o envelope de sons produzidos por um instrumento real.

Farmacologia e toxicologia: Verifica-se que muitas substâncias administradas são distribuídas e metabolizadas (ver depuração) de acordo com padrões de decaimento exponencial. A meia-vida biológica "meia vida alfa" e "meia-vida beta" de uma substância é a medida de rapidez com que a tal substância é distribuída e eliminada.

Óptica físicas: A intensidade da radiação electromagnética tal como a luz ou raios X ou raios gama em um meio absorvente, segue uma diminuição exponencial com a distância para o meio de absorção.

Óptica físicas 2: Tal como no caso dos números reais, a função exponencial pode ser definida no também no plano dos números complexos em várias formas equivalentes. Uma tal definição, paralela à definição de séries de potência para números reais, é onde ocorre da variável real ser substituída por um complexo.

Um exemplo de função exponencial no plano dos complexos: A transição cores de escuro para claras mostra que a magnitude da função exponencial está a aumentar para a direita. As bandas periódicas horizontais indicam que a função exponencial é periódica na parte imaginária de seu argumento.

Termeletricidade: A diminuição da resistência de um termistor com coeficiente de temperatura negativo, quando a temperatura é aumentada.

Ciências Sociais: Em glotocronologia simples, o pressuposto (discutível) de uma taxa constante de decaimento em um idiomas permite estimar a idade de idiomas individuais. (Para calcular o tempo de separação entre duas línguas requer pressupostos adicionais, que nada têm a ver com decaimento exponencial).

Na história da ciência, em geral, muitos acreditam que o corpo de conhecimento de qualquer ciência em particular é refutada gradualmente de acordo com um padrão de decaimento exponencial (ver meia-vida do conhecimento ).

Ciência da Computação: BGP (Border Gateway Protocol), o protocolo do núcleo de roteamento da Internet, tem de manter uma tabela de roteamento, a fim de lembrar os caminhos para um pacote poder ser desviado. Quando um desses caminhos, repetidamente, muda o seu estado de disponível para não disponível (e vice-versa), o BGP router, para controlar esse caminho, teria que, repetidamente, adicionar e remover o registro deste caminho, de sua tabela de roteamento. Com isso, portanto, gastaria recursos locais, tais como, CPU e memória RAM e, ainda mais, transmitindo informação inútil para "espiar" roteadores.

Para evitar este comportamento indesejado, um algoritmo evita oscilações na rede por atribuir a cada rota um peso que:

• Aumenta a cada vez a rota muda seu estado (disponível / não disponível);
• Decai exponencialmente com o tempo.

Quando o peso atinge um certo limite, o percurso é suprimindo. Com isso obtém-se um efeito de amortecimento, conseguido com o auxílio de constantes de tempo que agem em conformidade com o sucedido. Se um caminho de repente ficar indisponível, ele sai das tabelas de roteamento, mas se em seguida tal caminho voltar a estar acessível, aguarda-se um tempo determinado, pois caso ele caia novamente, não terá influência sobre a nova configuração. Se se mantiver operacional após esse tempo então é colocado novamente nas tabelas de roteamento. As quebras consecutivas de disponibilidade é que fazem com que o tempo de espera cresça exponencialmente.

Este amortecimento também se torna útil quando a rede fica sujeita a um ataque do tipo Denial of Service, em que as ligações não são estabelecidas por alegada falta de recursos.

Ciências Humanas:

Biossociologia: Por exemplo, é possível que a taxa de crescimento da população de uma comunidade seja proporcional à população existente num dado instante. Em Biologia, sob certas circunstâncias, a taxa de crescimento de uma cultura de bactérias é proporcional à quantidade de bactérias presentes em qualquer instante dado.

Em 1798, o inglês Thomas Malthus, no seu trabalho "An Essay on the Principle of Population" formulou um modelo para descrever a população presente em um ambiente em função do tempo. Ele considerou a função N=N(t) o número de indivíduos em certa população no instante t. Tomou as hipóteses que os nascimentos e mortes naquele ambiente eram proporcionais à população presente e a variação do tempo conhecida entre os dois períodos. Chegou à seguinte equação para descrever a população presente em um instante t:

onde: N₀ é a população presente no instante inicial t = 0; r é uma constante que varia conforme “a espécie” de população e t é o intervalo de tempo. O gráfico correto desta função depende dos valores de N₀ e de r , todavia, sendo uma função exponencial, a forma do gráfico será semelhante ao da função:

Este modelo supõe que o meio ambiente tenha pouca ou nenhuma influência sobre a população. De fato, a seu tempo, Malthus, de certo modo, colocou o mundo em polvorosa, quando afirmou que, uma vez que as populações crescem geometricamente e a produção de alimentos cresce aritmeticamente, isso não era bom e levaria a humanidade ao caos pois, com o passar dos anos haveria mais pessoas do que a quantidade de alimentos necessários para a sobrevivência da espécie humana.

Malthus errou, não apenas por limitar demais a capacidade produtiva e a sustentabilidade natural da terra, bem como ignorou o fenômeno da racionalidade da raça humana, capaz, não apenas causar modificações limitadas, porém consideráveis, no seu próprio meio ambiente, como, por exemplo, a que ocorreu com o impacto da intensa mecanização da produção agrícola e pecuária, mas também de agir naturalmente, de modo consciente, no seu próprio controle populacional. Tal impacto, adveio, sobretudo, dos efeitos da revolução industrial da qual, o princípio, ele próprio foi contemporâneo.

Algumas pessoas, mais inseguras e mais abertas às "teorias de conspirações" alegam que foi a partir da teoria de Malthus que os "Illuminatis" passaram a dispor do respaldo científico para os seus empreendimentos de redução da população mundial.

O fato é que Deus colocou "Sistemas de Controle Naturais" em toda a sua criação, mas alguns seres humanos, renitentes, teimam em não querer reconhecer isso. O que eu quero dizer que, Deus criou tudo o que existe com uma perfeição tal que, lhe permitiu deixar o "universo todo", simplesmente, rodando no "modo automático". Ele está, sim, no controle de tudo mas, principalmente sem precisar "causar" nada mais no universo físico, simplesmente "deixando rolar naturalmente", pelas leis de interação que ele mesmo estabeleceu desde o princípio.


Assim, "o problema de Deus", o qual exige dele constantes manobras é, tanto no  "mundo espiritual" como no "mundo físico" com respeito a parte da sua criação que "raciocina", ou seja, no mundo físico, com o "livre arbítrio inteligente" dos seres humanos.

Muito embora a aplicação da teoria de Malthus funcione bem quando se trata de avaliar populações de seres vivos que são micro-organismos, como as bactérias, ela passou a ser apenas mais uma ferramenta indicadora do potencial de sobrevivência e de crescimento de cada espécie de população do que um modelo que mostre o que realmente ocorre.

Alguns aqui poderão alegar que tanto as técnicas agrárias modernas, quanto domesticação de animais e plantas em larga escala é um fator histórico de degradação da biodiversidade, gerando a seleção artificial de espécies, onde alguns seres vivos são selecionados e protegidos pelo homem em detrimento de outros, todavia eu tão somente desejo lembrar-lhes que isso ocorre, não apenas pela permissão de Deus, mas também por ordem dada por Ele, desde o princípio.

Para o nosso próprio bem, nós jamais devemos tratar com descaso, quaisquer dos indicadores de cuidados e de atenção que se façam necessários da nossa parte, para que todo o sistema produtivo de alimentos transcorra em ótima segurança.

Todos os esforços no sentido de melhorias dos processos são sempre bem vindos, principalmente aqueles voltados a sustentabilidade e defesa do meio ambiente terrestre. No entanto, o essencial a nós, ainda é e sempre será, estarmos dotados de bons princípios e de fé no nosso criador e, simplesmente, obedecê-lo, sempre.

Administração: Juro é a remuneração cobrada pelo empréstimo de dinheiro. É expresso como um percentual sobre o valor cedido / tomado (taxa de juro) e pode ser calculado de duas formas: juros simples ou juros compostos. Uma aplicação da função exponencial ocorre quando os juros são compostos continuamente.

Um investidor mais exigente desejará que os juros sejam capitalizados a cada instante. Este tipo de transação, em que os juros são capitalizados continuamente, é o que se chama de juros compostos ou juros continuamente compostos.

Se tomarmos uma fracção 1/n do ano, empregando-se o capital (capital inicial C₀), com juros capitalizados (a uma taxa de juros de r), no final de um ano teremos um capital total de:

Para, a partir dessa fórmula, obter uma outra que nos forneça o capital resultante de um investimento empregue a juros compostos, é necessário tomar sucessivamente fracções cada vez menores do ano. Isto, em matemática, é feito por um processo de limite.

Assim, dizemos que o capital resultante de uma aplicação feita a juros compostos será dado por:

Como o número da constante de Euler e, também pode ser definido por:

A expressão acima significa que, fazendo-se sucessivamente n = 1, 2, 3, 4, ..., a resultante aproxima-se cada vez mais do número e, e mais do que isso, podemos tornar o desvio cometido nessa aproximação, tão pequeno quando quisermos, bastando para isso considerar n grande o suficiente.

Levando-se em conta a definição acima, temos que um capital empregue a uma taxa de r por cento ao ano, a juros compostos a cada instante, será transformado, depois de t anos, em:

O juro pode ser compreendido como uma espécie de "aluguel sobre o dinheiro". A taxa seria uma compensação paga pelo tomador do empréstimo para ter o direito de usar o dinheiro até o dia do pagamento. O credor, por outro lado, recebe a compensação por não poder usar esse dinheiro até o dia do pagamento e por correr o risco de não receber o dinheiro de volta (risco de inadimplência).

Documentos históricos redigidos pela civilização suméria, por volta de 3000 a.C., revelam que o mundo antigo desenvolveu um sistema formalizado de crédito baseado em dois principais produtos, o grão e a prata. Antes de existirem as moedas, o empréstimo de metal era feito baseado em seu peso. Arqueólogos descobriram pedaços de metais que foram usados no comércio nas civilizações de Tróia, Babilônia, Egito e Pérsia. Antes do empréstimo em dinheiro ser desenvolvido, o empréstimo de cereal e de prata facilitava a dinâmica do comércio.

Na República Romana, no ano do consulado de Marco Fábio Ambusto e Marco Popílio, a taxa de juros foi reduzida para 8 1/3 por cento, mesmo assim, os plebeus continuavam sem conseguir pagar suas dívidas. Na Idade Média, considerava-se crime (chamado crime de usura), alguém emprestar dinheiro pretendendo receber uma quantia maior do que o valor emprestado após um tempo.

Existem diversas teorias que tentam explicar porque os juros existem. Uma delas é a teoria da Escola Austríaca, primeiramente desenvolvida por Eugen von Boehm-Bawerk. Ela afirma que os juros existem por causa da manifestação das preferências temporais dos consumidores, já que as pessoas preferem consumir no presente do que no futuro.

Vários provérbios bíblicos apontam para a necessidade de se economizar para o futuro. O crédito fácil tem levado muitos a viver à beira da falência. O desejo de manter as aparências e consumir mais leva as pessoas a gastar cada centavo que ganham e a usar o seu crédito até o limite. Mas o que gasta tudo o que tem consome mais do que pode dispor. Uma pessoa sábia separa uma parte de seu dinheiro para os imprevistos. Deus aprova a precaução e a moderação. Aqueles que buscam a Deus precisam examinar seu estilo de vida, para verificar se seus gastos são supérfluos ou não. O desperdício não agrada a Deus.

A lógica humana diz que devemos economizar tanto quanto possível, mas Deus afirma que abençoa os que doam seus bens, seu tempo e seu trabalho. Quando ofertamos algo, Deus nos dá ainda mais, de forma que possamos continuar a abençoar outros. Além disso, a disposição de doar nos ajuda a ter uma perspectiva correta de nossas posses. Percebemos que estas não são realmente nossas que as recebemos de Deus a fim de que sejam usadas para ajudar outros. Então, o que ganhamos por sermos generosos? Desapego às nossas posses, a alegria de ajudar a outras pessoas e a aprovação de Deus.

O desperdício, aliado a ganância, são as verdadeiras causas da fome no seio da humanidade. Portanto, vede prudentemente como andais, não como néscios, e, sim, como sábios, remindo o tempo, porque os dias são maus. A mesma elite sócio-econômica humana ocultista, que viu nas grandes guerras do século XX uma oportunidade necessária para se evitar o "desastre" da teoria de Malthus, é aquela que hoje fomenta o negócio de crédito facilitado, a juros exorbitantes, e estabelece um sistema opressor sobre as nações e sobre os indivíduos. Portanto, se queres permanecer amigo do verdadeiro Deus, dai a Cesar o que é de Cesar e faça todo esforço que puder para ficar alheio a isso, e aquele, pois, que pensa estar em pé, cuida para que não caia.

Conclusão:

Se as conclusões que Galileo Galilei (1564 - 1642) apregoou, a saber, "O livro do mundo está escrito em linguagem matemática" e "A matemática foi o alfabeto com o qual Deus construiu o universo", endossadas por Johannes Kepler (1571 - 1630), quando afirma que "As leis da Natureza nada mais são que pensamentos matemáticos de Deus", então, sem ter se contaminado com questões metafísicas e exotéricas, sem sombra de dúvidas, as funções exponenciais naturais, com a sua base na constante de Euler e = 2,71828, podem, agora e no futuro, contribuir muito mais, para que possamos compreender os fenômenos naturais da criação, até bem mais do que a cultuada razão áurea.

Se o ser humano souber desenvolver esse trabalho, mantendo-se cônscio da sua real condição, isso só poderá contribuir muito para o engrandecimento da glória de Deus Jeová. "O temor do Senhor é odiar o mal; a soberba, e a arrogância, e o mau caminho, e a boca perversa, eu os odeio.", diz o sábio Senhor, arquiteto do universo.

“A Razão Áurea” versus “A Função Exponencial Natural” - PARTE I - Os “divinos” objetos da matemática.

O “e” sempre me incomodou e me impressionou - não a letra “e”, nem a operação lógica “e”, mas, antes de tudo, a constante matemática e, denominado número ou constante de Euler.

Mas, o que há por trás desse número? Denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Paul Euler (1707 - 1783), mas cuja a primeira referência (ainda que a constante não apareça ali apresentada de modo direto) foi publicada em 1618, na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. E, o mais importante de tudo, o que realmente significa o e?

Livros de matemática convencionais descrevem o e usando um jargão bastante obtuso: “O e é uma constante matemática, que é a base do logaritmo natural (ln), também chamado de logaritmo neperiano”, e quando você olha para a definição de logaritmo natural, você encontra “O logaritmo natural, anteriormente conhecido como o logaritmo hiperbólico, é o logaritmo na base e, onde e é uma constante irracional aproximadamente igual a 2,718281828459”.

Temos ai, na verdade, uma intrigante referência circular. É como um dicionário que define um termo apoiado em outro e vice versa. Pode até ser correto, mas não é muito útil. O que há de errado com palavras comuns como "complicado"?

O fato é que no universo matemático convencional, as explicações são sempre mantidas secas e formais, pela mera busca do tal "rigor matemático". Mas, cá para nós, isso não ajudar muito os iniciantes que tentam obter uma alça sobre um assunto ou mesmo pesquisadores que procuram por “mais luz”. Mas hoje eu vou compartilhar algumas definições intuitivas e de alto nível sobre “o que” e “por que” é o e. Deixe o seu livro de matemática "rigorosa" de lado e me acompanhe, por gentileza:

A constante e não é apenas um número

Descrever o e como sendo, simplesmente, "uma constante que vale aproximadamente 2,71828 ..." é tão pobre e injusto quanto descrever π (pi) como apenas "um número irracional, aproximadamente igual a 3,1415 ...". Claro que o que estamos afirmando é verdade, porém, assim perdemos completamente o ponto focal que produz o encantamento matemático, sim, pois a matemática tem disso, ou ela nos encanta ou ela nos aborrece.

Quem teve a oportunidade de assistir a um antigo desenho de Walt Disney, intitulado “Donald no País da Matemágica” entende, ao menos um pouco, do que eu estou falando. A forma como a matemática é apresentada, faz toda diferença de sucesso ou de fracasso nos processos cognitivos.

Então vamos tentar melhorar isso! O π é, de fato, a relação entre o perímetro de uma circunferência e o diâmetro da mesma. E isso é uma propriedade comum, partilhada por todas as circunferências.

Por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro p e diâmetro d, então, Portanto, π (pi) é a razão fundamental inerente a todas circunferências e, portanto, impacta qualquer cálculo, seja própria da circunferência, da área de um círculo, do volume de uma esfera, de um cilindro (que nada mais é do que a extrusão de um círculo), e assim por diante.

Deste modo, Pi é muito importante e mostra que todas os circunferências estão relacionadas, para não mencionar, ainda, todas as funções trigonométricas derivadas das circunferências (seno, cosseno, tangente, etc).

O contexto da modelagem matemática de toda máquina giratória está intimamente relacionado com o π.

Arquimedes (287 a.C. – 212 a.C.), que foi um matemático, físico, engenheiro, inventor, e astrônomo grego, e que geralmente é considerado o maior cientista da antiguidade, e ainda um dos maiores de todos os tempos, utilizando-se da soma de uma série infinita, foi, muito provavelmente, o primeiro calculista que encontrou uma aproximação bastante acurada do número π.

Arquimedes viveu na cidade portuária de Siracusa, na Sicília, naquele tempo uma colônia autogovernante na Magna Grécia. Não se sabe exatamente onde e o que ele estudou, supõem se que ele tenha estudado em Alexandria, mas decerto, não foi em nenhuma das duas Academias de Atenas: nem no Liceu, fundado por Aristóteles, que sempre teve uma orientação essencialmente empírica, científica e não religiosa, e nem na Academia platônica, que em oposição a primeira, sempre foi muito mais especulativa, filosófica e religiosa.

Todavia, a orientação de Arquimedes, ao que tudo indica, era ainda mais empírica e científica do que a do próprio Liceu de Atenas. Na verdade, ele era um cientista até que bastante prático, pois Arquimedes utilizou o seu conhecimento e descobertas próprias para ser o inventor e o construtor de várias armas de guerra da antiguidade, que favoreceram a Grécia.

Entretanto não vamos focar o trabalho de Arquimedes aqui, e sim, aquilo que foi inicialmente proposto, que é fazer uma interessante comparação entre as "forças de divindades" da "geometria da razão áurea" e a "função exponencial natural". Porém, antes de voltarmos a falar no e (constante de Euler), quero aproveitar a oportunidade para apresentar a outra constante matemática importante, que é a chamada Razão Áurea.

A razão aurea ou número áureo recebe o nome de Phi em homenagem ao arquiteto grego Phidias (Atenas, 490 a.C. - Olímpia 430 a.C.), construtor do Parthenon e de muitas outras obras de edifícios e esculturas da antiga Grécia, e que utilizou o número de áureo em muitas de suas obras.

Todavia, ao que tudo indica, a razão áurea é resultado de um estudo ainda mais antigo, originado provavelmente no Egito. Algumas correntes místicas acreditam que objetos cujas dimensões estão relacionadas a Phi harmonizam-se provocando a sensação de beleza e harmonia.

O homem sempre tentou alcançar a perfeição, seja nas pinturas, nos projetos arquitetônicos ou até nos mapas. O número áureo voltaria a ser aplicado mais tarde, principalmente nas pinturas renascentistas, como se poderia observar em algumas obras de Leonardo da Vinci.

O número áureo pode ser obtido por meio de um segmento, seguindo a seguinte definição:

Dizemos que um ponto B divide um segmento AC em média e extrema razão quando:

Podemos fazer uma substituição:

e deste modo:

temos assim que:

ou seja:

Essa equação apresenta duas raízes reais, que são:

Podemos obter a construção de um segmento áureo por meio do uso de uma régua-esquadro e de um compasso. Seja dado um segmento AB qualquer:

Regulamos o compasso para uma abertura qualquer, que seja menor do que o total do segmento AB e maior que a metade do deste segmento. Então. colocamos a ponta seca do compasso em um dos pontos de extremidade do segmento de reta AB e traçamos um arco para cima e para baixo do segmento AB. Sem alterar a abertura do compasso, repetimos este procedimento com a outra extremidade do segmento AB. O cruzamento dos arcos determinam dois pontos, um acima e outro abaixo do segmento AB:

O segmento de reta virtual que existe unindo estes dois pontos criados, cruzaram o segmento AB original, em seu ponto médio (M):

Agora traçamos um outro segmento de reta, que seja perpendicular a AB, partindo de B:

Em seguida ajustamos a abertura do compasso para a exata extensão existente entre a extremidade B e o ponto médio M, e com a ponta seca em B e traçarmos um arco acima de B, que cruze o segmento de reta perpendicular:

Deste modo, o novo segmento BC surgido, tem o mesmo comprimento do semento BM, ou seja, metade do comprimento AB. Unindo com um novo segmento os pontos A e C, obtemos um triangulo (ABC):

Colocando a ponta seca do compasso no vértice C do triângulo e abrindo até o ponto B. Usando este raio para marcar o ponto E na hipotenusa do triângulo:

Daí, finalmente com a ponta seca do compasso no vértice A, abrindo-o até o ponto E marcado na hipotenusa e usando este raio para marcar o ponto D na primeira reta AB. Com isto, é obtido o ponto D procurado:

Este ponto (D) é o ponto que divide o segmento AB em duas partes, onde:

-------> AB = 1,618 . AD

-------> AD = 1,618 . DB

Mas, afinal, qual a importância real da razão áurea?

Segundo um grande número de admiradores da razão áurea, o principal quesito qualitativo dela, reside na “beleza” que ela proporciona quando aplicada em construções arquitetônicas geométricas. Esse aspecto é observado sobretudo no emprego do retângulo de proporções áureas:

A razão áurea (proporção áurea) pode ser definida algebricamente pela série de Fibonacci. Os números de Fibonacci possuem a seguinte função geradora:

Na série de fibonacci cada número é a soma dos dois números imediatamente anteriores na própria série. Quando se expande esta função em potências de x, os coeficientes são justamente os termos da sequência de Fibonacci. 

O número áureo é aproximado pela divisão do enésimo termo da Série de Fibonacci (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89 , ... ), pelo termo n-1.  Essa divisão converge para o número áureo conforme tomamos cada vez maior.

Conceitualmente, beleza é a percepção individual de características que são agradáveis aos sentidos. Alguns aspectos referentes a essas características são universais, enquanto outros são restritos a certas culturas, a certas sociedades ou a determinados períodos de tempos específicos.

Alguns afirmam que muitos aspectos são mesmo individuais, donde costumam surgir o que chamamos de novos paradigmas e novos conceitos. Segundo estes, a beleza é uma experiência, um processo cognitivo ou mental, relacionada à percepção de elementos que agradam de forma singular aquele que a experimenta. Suas formas são inúmeras, e a ciência ainda tenta dar uma explicação para o processo.

Como exemplo de exemplo de um novo paradigma podemos citar a proporções de tela de T.V.. Originalmente, a antiga T.V. analógica havia sido definida para operar com uma tela na proporção 4:3 (ou 1,333 : 1). Atualmente, a tela da moderna T.V. Digital foi redefinida para o formato “Widescreen”, que é de 16:9 (ou 1,778 : 1).

Os filmes em formato widescreen foram um “novo paradigma” para filmes para cinema, criados nos Estados Unidos nos anos 50, sob a denominação "cinemascope", como reação do mercado cinematográfico à popularização das transmissões televisivas. Todavia, observem que, nem o formato antigo (1,333:1) nem o formato novo (1,778:1) tomou em consideração a razão áurea (1,618:1). Mais recentemente o cinema passou a migrar para o formato widescreen anamórfico, cuja proporção foge ainda mais da razão áurea (1,85:1):

Apesar de variação significativa, existe alto grau de concordância entre as culturas do que é considerado belo, dotado de perfeição de formas e proporções harmônicas. Segundo Tomás de Aquino: “a beleza é aquilo que agrada à mera contemplação”. Muitas coisas que são consideradas belas apresentam uma proporção chamada áurea, mas essa sensação de beleza não parece estar ligada a um valor absolutamente exato.

Além da beleza, considere-se também a “intrigância”, o excitamento a curiosidade, pois esse é outro aspecto importante da razão áurea. Com respeito a isso, um fato curioso em relação à razão áurea nos leva ao antigo Egito. A pirâmide de Quéops, construída entre 2551 e 2528 a.C, considerada uma das sete maravilhas do mundo antigo, logo após a sua construção, sua altura media 280 cúbitos e a medida do lado da base 440 cúbitos. Consequentemente, o apótema da base é 220 cúbitos.

Podemos então aplicar o teorema de Pitágoras para calcular a medida do apótema da pirâmide. Uma vez calculado o apótema daquela pirâmide, verifica-se que a relação entre este e o apótema da base, corresponde a proporção áurea, 1,618 (Se g é o apótema da pirâmide, h é a altura da pirâmide e m é o apótema da base da pirâmide):

A história nos mostra que os egípcios eram muito bons no contar e no medir, porém, não é possível afirmar que a razão áurea foi utilizada conscientemente na construção das pirâmides, apenas constata-se, surpreendentemente, que ela aparece nesta construção do mundo antigo.

Atualmente, alguns produtos que se baseiam em formato retangular buscam, conscientemente, a proporção áurea, como, por exemplo, formato de cartões de crédito, das cartas de baralho, dos blocos de papel para carta, mas não é o caso de uma infinidade de outros produtos, como por exemplo formato de papeis importantes como o A4 e o Ofício (proporções 1,414:1 e 1,6470:1, respectivamente).

Todavia, as associações mais intrigantes e exatas da razão áurea com formas geométricas foram as observadas pelos chamados pitagóricos gregos. O termo pitagórico advém do nome do matemático e filósofo grego Pitágoras. Pitágoras nascido na Ásia Menor, na ilha de Samus (569 a 500 a.C), portanto, em um período anterior ao arquiteto e escultor Phidias.

Pitágoras viajou ao Egito, Babilônia e outros países onde acumulou conhecimentos em Astronomia, Matemática e Filosofia. Ao retornar à Grécia, estabeleceu-se na ilha de Crotona, costa sudeste, hoje Itália, onde fundou a Escola Pitagórica, entidade parcialmente secreta envolta por muitas lendas. Os seguidores desta escola eram chamados de pitagóricos. Para eles a essência de todas as coisas é o número.

Todavia, quando se faz afirmações sobre “a essência das coisas”, extravasa-se os limites da ciência e invade-se a área dominada pela metafísica e pela religião. Principalmente a religião, indubitavelmente sempre foi mais tradicional e popular para os seres humanos, do que a própria ciência. Divagando em tal área, o filósofo passa a ser visto muito mais como místicos, do que propriamente, como um cientistas.

Apesar do misticismo que os envolvia os pitagóricos e suas reuniões quase secretas, eles fizeram descobertas importantes sobre a geometria e os números. Embora haja contradições, devido à falta de documentos da época, provavelmente os pitagóricos descobriram três dos cinco sólidos convexos regulares. Os antigos gregos associavam o cubo, o tetraedro, o octaedro e o icosaedro aos elementos componentes da natureza, respectivamente, terra, fogo, ar e água.

O último sólido convexo regular descoberto pelos pitagóricos, o dodecaedro, tem suas faces pentagonais que se relacionam fortemente com a razão áurea. Talvez por isto, os pitagóricos o consideram digno de “um respeito todo especial”. A ele foi atribuído o “símbolo do universo”. Platão, que viveu no quarto século a.C., chamou de “o mais nobre corpo entre todos os outros”.

Traçando as diagonais de uma das faces pentagonais do dodecaedro, obtemos a estrela de cinco pontas, também conhecida como pentagrama, que era utilizada como símbolo e emblema da Sociedade Pitagórica. Os poliedros regulares ficaram conhecidos como “sólidos platônicos” devido à ênfase dada a esses sólidos por Platão e seus seguidores. O pentagrama é uma das construções geométricas que mais fascinou os estudiosos. Nele há, sem sombra de dúvidas, um número extraordinário de razões áureas. Repare que no centro do pentagrama forma-se um novo pentágono.

Uma outra característica dos pentágonos é quando se deseja cobrir uma superfície plana com polígonos regulares. Ao contrário dos demais polígonos regulares, triângulos equiláteros, quadrados e hexágonos regulares, os pentágonos regulares não formam mosaicos, no sentido estrito. Para poder construir um mosaico o ângulo interior deve dividir a 360º com resultado inteiro.

Assim, o ângulo interior do triangulo equilátero, por exemplo, é de 60º e 360/60 = 6. Com 6 triângulos em cada vértice se pode construir um mosaico.

Do mesmo modo, o ângulo interior do quadrado é 90º. 360/90 = 4. Com 4 quadrados em cada vértice se pode construir um mosaico. Já o ângulo interior do hexágono é 120º. 360/120 = 3. Com 3 hexágonos em cada vértice se pode construir um mosaico.

É possível ainda se obter mosaicos combinando-se polígonos regulares não necessariamente congruentes entre si, porém com lados de mesmo comprimento, como mostra a figura ao lado.

Mas o ângulo interior do pentágono é 180- 360/5 = 180-72 = 108º, que não divide a 360.

Não obstante a natureza de pureza matemática contida na razão áurea, uma boa dose de cultura mistica e ocultista acabou, também, sendo associada a ela. Esse processo de mistificação, inclusive, não começou, com o excessivo secretismo dos pitagóricos originais, pois, ao que tudo indica, a forma geométrica do pentagrama já era usada como simbolo exotérico, até mesmo antes deles.

De fato, a humanidade sempre acreditou estar vivendo num mundo que apresentava forças e energias ocultas ao seu redor, e que muitas vezes não conseguia nem compreender, nem identificar ao certo. Assim sendo, ao longo dos tempos, sempre buscou proteção contra esse poder desconhecido, que lhes representava perigos ou riscos e que faziam parte dos seus medos ao desconhecido.

Com o tempo foram surgindo, aos poucos, muitos objetos, imagens e amuletos, criando-se símbolos nas tradições de cada povo. O pentagrama está entre os principais e mais conhecidos símbolos exotéricos, pois possui uma diversa gama de representações e significados, aos quais evoluíram nas mentes e corações humanos ao longo da história. Tais representações pretendem remeter muito além daquilo que as ciências naturais e exatas, como a matemática e a geometria pretendem, de avanço nas artes e nas tecnologias.

Mais tarde, uma outra irmandade, também de cunho, até certo ponto, secreto, a maçonaria, não apenas passaria a adotar como seu principal logotipo, o compasso e a esquadro (ferramentas usadas para se obter geometricamente a divisão de um segmento segundo a proporção áurea), como também, ela não se faria de rogada em arvorar-se de todo simbolismo, tanto físico quanto metafísico, relacionado à forma geométrica do pentagrama, em seus ritos.

Se o simbolismo Pitagórico, mesmo em sua origem, já continha algo de peso especulativo, que parecia querer levantar-se acima daquilo que fosse meramente artístico ou científico, com o advento da maçonaria, isso se tornou muitíssimo mais proeminente, grandemente acentuado.

A especulação maçônica desenvolveu-se, concomitantemente, e na mesma proporção, em que multiplicava-se os diferente ritos adotados entro dela, fazendo com que essa confraria viesse a se tornar o que ela é hoje, uma grande mosaico de crenças esotéricas, metafísicas e religiosas, de modo que, é possível afirmar que a face exotérica ou "face pública" da maçonaria é, sem sombra de dúvida, muito menos heterogênea, do que a face esotérica ou "oculta" dessa irmandade, que é extremamente diversificada.

Não apenas pelo apelo mais fortemente especulativo, mas, sobretudo, pela acepção de indivíduos por meio da divisão em graus iniciáticos, bem como pela determinação em atuar como uma entidade com poder de ordem mundial, tais características são os principais diferenciais entre a maçonaria moderna e os pitagóricos originais da grécia antiga.

Por meio da leitura do livro "Liturgia e Ritualística do Grau de Companheiro Maçom" da editora A Gazeta Maçônica - escrito de José Castellani, de 1986, uma obra que trata do grau de "Companheiro Maçom", em todos os ritos praticados no Brasil, podemos verificar o quão carregada de crendice exotérica se tornou o símbolo do pentagrama, e por conseguinte, a razão áurea, entre os maçons. O que me refiro pode ser conferido na sinopse apresentada em:

"Liturgia e Ritualística do Grau de Companheiro Maçom"  - A ESTRELA PENTAGONAL

Todavia, eu creio sinceramente, que nem sempre foi assim. A Maçonaria original, operativa, era essencialmente cristã. Na Europa esse era o pensamento religioso largamente dominante. Para além deste, existia apenas o judaísmo, minoritário e simplesmente tolerado (as vezes, pouco, nalguns locais, como na Península Ibérica, por exemplo, nada.)

Todos os textos primitivos maçônicos espelhavam a doutrina cristã. Mesmo as Constituições de Anderson, como é mais conhecida a Constituição que regula os Francos-Maçons desde 1723 e que é considerado o principal documento e a base legal da maçonaria especulativa, que aos poucos foi substituindo os preceitos tradicionais que até então regulavam as atividades da maçonaria operativa, o mostram. Na redação original dos "Landmarks", os princípios enformadores da Maçonaria, não se faz referência a volume da Lei Sagrada, menciona-se, clara e diretamente, a Bíblia sagrada.

Com o advento do pensamento deísta e a sua inegável influência predominante na maçonaria, a concepção desta como tributária da religião cristã foi sendo substituída por uma concepção, considerada muito mais abrangente, como tributária da "Religião com a qual todos os homens concordam" Esta expressão, "Religião com a qual todos os homens concordam" aliás, já constava nas Constituições de Anderson.

Este novo entendimento, de modo inelutável, levou a uma descristianização da Maçonaria. Os maçons passaram a pensar, então que, se este era o ponto de confluência de todos os crentes de todas as religiões, a plataforma mínima de entendimento de todos, a "religião com a qual todos concordam", então não se podia impor aos não-cristãos as preces cristãs, por exemplo.

A Primeira Grande Loja de Londres, instituída em 1717, estabeleceu o princípio deísta na maçonaria. Outros maçons, respeitadores da sua tradição, vinda da Maçonaria Operativa, discordaram dessa evolução e constituíram a Grande Loja dos Ancients (antigos). Foi da tensão entre estas duas conceções da Maçonaria, uma declaradamente teísta, na esteira operativa, e outra assumidamente deísta, foi dos debates entre uma e outra, que se forjou a Maçonaria Moderna. Na grande mosaico que se tornou na maçonaria maçonaria moderna, o pentagrama é o símbolo de toda criação mágica, mas volto a dizer, nem sempre foi assim.

O nome maçonaria, ou franco-maçonaria, deriva do termo francês franc-maçonnerie, “pedreiros livres” ou do Latim "Sculptores Lapidum Liberorum". Sua origem é localizada nas corporações de ofício dos pedreiros da Idade Média, no final do século XIV. Naquela época, não havia escolas capazes de ensinar as técnicas da construção em pedra, utilizadas principalmente em catedrais.

Somente nas entidades corporativas, também chamadas guildas, é que aprendizes e mestres dividiam a ciência do talhe e se reuniam após o expediente para discutir o andamento das obras e defender sua profissão, como em um sindicato.

Levavam às reuniões os seus instrumentos de trabalho, utilizados na composição dos projetos arquitetônicos (esquadro e compasso) ou na atividade braçal (avental, malho e cinzel). Assim surgia a “maçonaria operativa”, preocupada com coisas práticas e restritas ao ofício. Pela própria natureza das suas ocupações, não é de se admirar que os maçons, principalmente os mestres, tivessem um profundo respeito pela matemática e pela geometria de Pitágoras.

Todavia, preocupados com o poder que a "maçonaria operativa" passava então a ter sobre a sociedade europeia, ainda no fim da idade média, alguns estudiosos, a serviço de interesses alheios aos da irmandade maçônica, passaram a afirmar que a sociedade iniciática, ou seja, a própria maçonaria, era muito mais antiga, já que símbolos utilizados em rituais maçônicos foram encontrados em túmulos e pirâmides egípcias de milhares de anos anos, buscando, com tais afirmações, confundir os próprios maçons, a respeito da sua própria história.

Somente após o Renascimento, com a fundação das primeiras universidades européias, as reuniões maçônicas puderam, efetivamente, se tornar mais refinadas, admitindo as discussões filosóficas e literárias. Os primeiros arquitetos e engenheiros a deixar as salas de aulas dessas primeiras universidades encontravam um mercado de trabalho com todas as portas fechadas, pois as guildas formavam uma espécie de cartel, que impedia que profissionais de fora conseguissem emprego.

Todavia, de tanto insistir, os acadêmicos passaram a ser aceitos, paulatinamente, na maçonaria e levaram sua erudição aos encontros. Desde então, a ordem propõe trabalhos fraternos e coletivos a fim de assegurar "a evolução espiritual dos seres humanos". A isso deu-se o nome de “maçonaria especulativa ou filosófica”, que de fato provocou uma certa descaracterização dos objetivos iniciais da maçonaria e abriu as portas ao mosaico exotérico que ali existe nos dias de hoje.

A questão essencial é que, como a tal "Religião com a qual todos os homens concordam", simplesmente não existe (nunca existiu no sistema de relacionamento entre as nações), então, assim que a maçonaria se sentiu forte o bastante, como uma eventual entidade de poder de ordem mundial, ela não soube, ou não quis saber, como resistir as tentações de desejar criá-la por conta própria e a princípio o deísmo parecia ser esta religião.

O deísmo é uma postura filosófica, no mínimo, curiosamente contraditória, pois ela admite a existência de um Deus criador, mas não nega a realidade de um mundo completamente regido pelas leis naturais e científicas, assim como pensam os ateus. Ou seja, acredita-se que Deus criou o mundo e em seguida, saiu de cena e passou a não se importa mais com a sua própria criação. O deísmo busca se abrir a uma maior abrangência de aceitação: para um deísta Deus pode ser um ser transcedental criador das coisas, todavia, para outros pode ser uma força completamente científica, não pensante, não sobrenatural, que gera e mantém o universo, em outras palavras, Deus poder ser visto como uma criança mimada que deseja um brinquedo, para logo em seguida abandoná-lo, ou deus é simplesmente como uma fonte caótica de energia.

Muito embora o predomínio do deísmo no seio da maçonaria, este, de modo algum, conseguiu fazê-la retornar a uma essência natural, científica e menos especulativa, fazendo-a deixar de priorizar a busca de contato e de dependência com o sobrenatural, com a fonte de poder do mundo espiritual. Ao contrário, aparentemente tal busca prosseguiu se intensificando, talvez pela sincera necessidade natural, inerente a todos os indivíduos e sociedades humanas, porém, agora, por escolha dos seus próprios membros, num sentido diametralmente oposto ao original, na contra mão do cristianismo.

Aplicação matemática da razão áurea no logo da Apple:

Esta dissertação tem prosseguimento em:

“A Razão Áurea” versus “A Função Exponencial Natural” - PARTE II - Os “divinos” objetos da matemática.